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选自quantamagazine
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近期，一个数十年来未措置的数学难题初度取得了进展。
鼓励这项进展的是来自加州大学洛杉矶分校的商议生 James Leng 和麻省理工学院数学商议生 Ashwin Sah、哥伦比亚大学助理老师 Mehtaab Sawhney。其中James Leng 师从驰名数学家陶哲轩，Ashwin Sah 师从闹翻数学大牛赵宇飞。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2402.17995
要了解这项商议取得的糟塌，需要从算术级数提及。
等差数列的前 n 项和称为一个等差级数，也称为算术级数。1936 年，数学家 Paul Erdős 和 Pál Turán 揣测：若是一个聚积由整数的非零分数构成（即使是 0.00000001%），那么它一定包含淘气长的算术级数。独一不错幸免算术级数的聚积是那些包含整数「可忽略不计」部分的聚积。举例，聚积 {2， 4， 8， 16， …}，其中每个数字皆是前一个数字的两倍，它沿着数轴散布，莫得级数。
1975 年，数学家 Endre Szemerédi 证据了这个揣测。他的职责催生了数学家于今仍在探索的多种商议所在。
数学家们在有限数集（从 1 到某个数 N 之间的所有这个词整数）的情况下修复了 Szemerédi 的成果。在弗成幸免地包含一个被拆开的级数之前，聚积中不错使用的部分占开动池的若干？跟着 N 的变化，这个占比会何如变化？
举例，令 N 为 20，那么不错写下这 20 个数字中的若干个，同期仍然幸免长度为 5 个或更多量字的级数？事实证据，谜底是开动池的 16% 到 80%。
Szemerédi 是第一个证据跟着 N 的增长，这个占比必须松开到零的东谈主twitter 反差，其后数学家们一直试图量化该情况发生的速率。
前年，两位盘算机科学家的糟塌性职责险些措置了三项级数的问题，举例 {6， 11， 16}。但当你试图幸免四项或更多项的算术级数时，问题就变得愈加困难。这是因为较长的级数响应了经典数学手脚难以揭示的潜在结构。
三项算术级数中的数字 x、y 和 z 恒久得志肤浅方程 x – 2y + z = 0（以级数 {10， 20， 30} 为例：10 – 2*(20) + 30 = 0），证据一个聚积是否包含得志这种要求的数字相对容易。而四项级数中的数字还必须得志更复杂的方程 x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0，具有五项或更多项的级数必须得志更复杂的方程。这意味着包含此类级数的聚积会阐述出更奥秘的花式。数学家也更难证据这种花式是否存在。
20 世纪 90 年代末，数学家 Timothy Gowers 提议了一种克服这一禁闭的表面。其后他被授予菲尔兹奖，这是数学界的最高荣誉，部分原因是因为这项职责。2001 年，他将我方的手脚利用于 Szemerédi 定理，证据了最大聚积大小的更好界限，幸免了任何给定长度的算术级数。
2022 年，那时正读加州大学洛杉矶分校商议生二年事的 James Leng 动手庞大 Gowers 的表面。他莫得计议 Szemerédi 定理。相悖，他但愿回报与 Gowers 的手脚联系的问题。
可是，致力探索了一年多，他一无所获。
一直在想考联系问题的 Sah 和 Sawhney 了解了 Leng 的职责，他们很感酷爱酷爱，Sawhney 致使说谈：「我很骇怪居然不错这么想考」。
Sah 和 Sawhney 意志到 Leng 的商议可能有助于他们在 Szemerédi 定理上取得进一步进展。几个月之内，三位年青的数学家就想出了如安在莫得五项级数的情况下得到更好的聚积大小上限。然后，他们将职责膨大到淘气长度的级数，这秀雅着自 Gowers 证据以来 23 年来该问题的初度取得进展。
默示
，莫得 k 项算术级数的最大子集的大小。Leng、Sah 和 Sawhney 证据，关于 k ≥ 5，存在 c_k > 0 使得
商议团队
曼谷人妖论文一作 James Leng 是加州大学洛杉矶分校 (UCLA) 的数学商议生，本科毕业于加州大学伯克利分校。他师从驰名数学家陶哲轩。
James Leng 的商议酷爱酷爱包括算术组合学、能源系统和傅里叶分析等等。他的商议还曾得到 NSF 商议生奖学金的支撑。
James Leng
Ashwin Sah 从小就可爱数学，他在竞赛中斗殴到了高级数学并阐述优异。2016 年夏天，16 岁的 Sah 夺得海外奥林匹克数学竞赛（IMO）的金牌，次年他参加 MIT 求知。
Ashwin Sah
在 MIT 念书时期，有两个东谈主对 Sah 的数学发展起到谨慎作用。第一个是闹翻数学大牛赵宇飞（Yufei Zhao）老师，他亦然 Sah 的商议生导师。
第二个即是 Mehtaab Sawhney，他们在课堂上再见并成为一又友。其后，二东谈主一谈作念商议，共同探讨闹翻数学范围内的多个主题，如图论、概率论和当场矩阵的属性。2017 年底，Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 在（MIT）读本科时相识。从那时起，两东谈主一谈编写了令东谈主难以置信的 57 个数学证据，其中很多在各个范围产生了深刻的影响。
Mehtaab Sawhney
Mehtaab Sawhney 当前是哥伦比亚大学助理老师。他的商议酷爱酷爱包括组合学、概率和表面盘算机科学等等。
参考畅达：https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/